又如两个整数互质的概率：
如果两个整数的最大公约数为1，我们就说这两个数是互质的。例如，9和14就是互质的，除了1以外它们没有其它的公共约数；9和15就不互质，因为它们有公共的约数3。可以证明这样一个令人吃惊的结论：任取两个整数，它们互质的概率是6/π2，恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题＃＃＃现了圆周率，无疑给小小的希腊字母π更添加了几分神秘。
还有欧拉恒等式，这是整个数学领域中最伟大，最神奇的公式：
这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算，把数学中最神奇的三个常数（圆周率π、自然底数e、虚数单位i）以及最根本的两个数（0和1）联系在了一起，没有任何杂质，没有任何冗余，漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的，它就是传说中的欧拉恒等式（euley），被评选为“史上最美的公式”。
。。。
而所有这些，竟都与π相关，都离不开神奇的圆周率。
说到圆周率π，不得不说到中国古代的一位奇人祖冲之。
祖冲之写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本，可惜后来失传了。
《隋书?律历志》留下一小段关于圆周率（π）的记载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛……宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”
讲到祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位，求直径为一丈的圆的周长，算出π的真值在盈数3.1415926和肭数3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为当时世界上最先进的成就。
祖冲之因此入选后世的世界纪录协会成为全球第一位将圆周率值计算到小数的七位的科学家，这一纪录直到他千年以后的15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。
祖冲之还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。
祖冲之编制了《大明历》，首次引用了岁差。并准确推算出从元嘉十三年（公元436年）到大明三年（459年）23年间发生的4次月食时间，以及其它五星会合周期，全部准确无误。
他还和儿子祖暅一起圆满地利用牟合方盖解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。他们提出来的“等积原理”：“幂势既同，则积不容异”，直到一千多年后才由意大利数学家卡瓦列里再次发现（卡瓦列里原理）。为了纪念他们，数学界也称这一原理为“祖暅原理”。
祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：很多外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”，巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山，并把小行星1888命名为“祖冲之小行星”。。。
对于祖冲之选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点，通常人们不会太注意。然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。
密率与π的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近π的分数。在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。
可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜测。
1573年，德国人奥托得出一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法“合成”的：(377-22)/(120-7)=355/113。
1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106＜π＜377/120，用两者作为π的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3((15+17)/(106+120)=355/113。
两人虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。
钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了中国何承天首创的“调日法”或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是(157+22x，9