伯克霍夫等人的证明是肯普的方法的延续和系统化，归纳为寻找一个不可避免的可约构形集（anunavoidableuratio）。
这个理念已经体现在肯普的证明中。
他首先说明任一地图中必然存在以下四种构形：2邻国国家、3邻国国家、4邻国国家和5邻国国家；然后证明每种构形都是可约构形。后来希尔将这种分类方式称为“不可避免集”。
伯克霍夫的构想是使用反证法：反设存在至少需要五种颜色染色的地图，那么其中必然存在国家数最小的“极小五色地图”（five-cap）。这个地图必然是“不可约的”（irreducible）。而只要找到一组构形，使极小五色地图中不可避免地会出现其中一种构形，并且每个构形都是可约的，那么就能够通过约化，将地图的国家数减少，从而导致矛盾。
肯普找的不可避免集由四种构形组成，但他无法证明最后一种（5邻国国家）的可约性，因此伯克霍夫开始寻找刻画不可避免集的新方法。
他提出以相邻国家连成的环来将整个地图m分为三个部分：环内部分a、环外部分b以及环本身r。若环上的国家数为n就称其为n-环。如果r的任意染色都不妨碍a进行染色，那么就可以“忽略”a而将m的染色问题约化为b+r的染色问题。这时便称a+r是可约构形，r称为可约环。伯克霍夫证明了：当r是4-环，或者r是5-环且a中国家不止一个，或者a+r是“伯克霍夫菱形”时，a+r都是可约的构形。因此极小五色地图不可能包含这些构形。
富兰克林进一步证明：极小五色地图中必定包含三个邻接的五边国（5邻国的国家），或者邻接的两个五边国与一个六边国，或者邻接的一个五边国和两个六边国。他从而得出一系列的可约构形，形成了25国以下地图的不可避免的可约构形集。因此推出，极小五色地图必定至少包含26个国家。
富兰克林发现，极小五色地图必定包括以上6种情形之一。
这种方法的终极目标是找到所有地图的不可避免的可约构形集。然而随着国家数增多，要找到不可避免集并证明其可约化性就越难。这主要是因为随着环的增大，染色的方法数目会迅速增大。6-环的4-染色方法有31种，而12-环则有种。因此对大环围成的构形验证可约性是十分繁杂的工作。
1926年，c.n.reynolds将别克霍夫数从25提高到27。1938年，富兰克林将其推进到31。1941年，c.e.winn将之提高到35。而直到1968年，别克霍夫数才更新为40。
四色问题研究的下一个突破并不是在美国，而是由哥廷顿大学出身的德国数学家亨利·希尔带来的。
他在1948年提出不可避免集的存在性，但他提出的不可避免集可能包含个构形，其中还有18-环的庞大构形。希尔的另一个成果是在1969年提出“放电法”（dihod），为寻找不可避免集给出了系统的方法。
人工寻找不可避免构形集和验证构形可约性过于缓慢，数学家开始考虑使用当时新出现的计算机作为辅助，以提高验证的效率。构造出放电法的同时，借助于计算机来验证构形可约性的工作也飞速进展。
希尔在karldurre的帮助下在1965年设计了第一个算法来验证构形的可约性。他们使用的是algol60语言，在德国汉诺威技术学院计算机中心的一台cdc1504a电脑上首次运行。1967年前，由于内存不足，只能验证12-环以下的构形。而希尔找出的不可避免集含有的大构形可以达到14-环甚至更多，计算机的能力并不足以快速完成可约性的验证。
当时美国的计算机技术领先于欧洲，因此希尔希望能够借助美国的大型计算机来证明四色定理。1967年，美国纽约布鲁克海文国家实验室（bnl）应用数学院院长邀请希尔来美国访问，并允许他使用当时世界上最快的计算机cdc6600。其后几年，希尔两度到美国寻求大型计算机的使用机会。这段时间中，durre将程序用fortran进行