3.如右图构造，对线段取三等分，去掉中间的一段。重复构造下去，则线段的长度为0！此时线段的维数小于1。线段最后变成无数个离散的点，线段已经无法维持，成为点集。以德国人canto的名字命名。
4.如右图构造，在立方体的某个面上，九等分为九个正方形，挖掉中心正方形对应的立方体，对其他五个面也同样进行挖掉中心立方体。也就是对立方体二十七等分，挖掉各面六个，最后将立方体中心的小立方体（颜色涂黑的部分）也挖掉。以上操作完成一次构造。反复进行同样构造，最后立方体的体积为0，面积无限，变成一块海绵，以波兰人siepiki的名字命名。尝试给出维数。观察面筋、冻豆腐、雪魔芋。
5.皮蛋，又称松花蛋，在蛋白表面存在若干花纹，类似松花。形成的原因称为粘性指进（vi），因流体粘度不同，粘度小的流体渗透进粘度大的流体时产生的随机分叉状况。（皮蛋的蛋白液变性，失去生物活性，成为凝固状蛋白，通常称这种现象为中毒。早期皮蛋的外包药剂中含有铅的氧化物，俗称密陀僧。现代皮蛋工艺中去掉了铅，采用锌或铜的氧化物。）
分形的构造过程中，重复进行构造，每次构造的规模不同，依次递减，我们将这种递减规模的重复构造行为称为递归。标度对称和递归是对同一种现象的不同视角描述：标度对称侧重整体特征，是静态描述；递归侧重实现过程，是动态过程。事实上，规模的递减是表面现象，递归的本质是：每次递归都在上次递归的结果上进行。
现代军队的组织是标度对称。以三三制为例：一军三师，一师三团…；变成一颗树的情景。树根是军，树干是师…树叶是士兵。军队的指挥是递归过程，军长给师长下令，师长给团长下令…班长指挥士兵。每个指挥者仅仅指挥若干个下属即可。
分形都存在对应的递归实现。以siepiki垫片为例。a：如图所示，面积逐渐减少，最后为0。b：让人震惊的另类递归构造。1.在三角形内任意取一点，如右图中的十字星位置，2.随机选三角形一个顶点和十字星点连接，取连线中点，用五角星表示。3.使用步骤2生成的五角星点为顶点，重复步骤2。最后也生成了siepiki垫片。注意：在表面上看此递归过程和上图中的递归不同，但实质都是依赖上次构造过程的结果来进行。由居里对称定理来分析，初始值是随机，过程对称，群体结果居然是对称！似乎不满足定理。但初始值随机，则全部随机的初始值可以布满整个三角形内部，意味着初始值的群体是对称的。即消除了个性的群体属性是对称的，对称的原因->对称的过程->对称的群体结果。那么任意一个随机初始值，不过是这个对称过程的具体实施。（结果是群体的！假设结果也是个体的，则初始群体的对称->结果群体的对称，单个初始和单个结果是否对称，则完全不知！此刻是个体->个体，而非个体->群体）（并非所有的随机初始->对称过程->对称群体结果，但群体结果的和是对称的。）
siepiki垫片内包含任意一维的图形。按照a生成方法，结果让人很难相信，一个所有条件都固定的生成方法居然可以包含任意一维图形。但按照b生成方法，由于初始值是随机的，出现任意的一维线条组合似乎容易接受。在koch构造中，新增加的2个线段突起的方向固定是起点到终点的左边。若让突出方向变为随机，则koch线段也可以包含任意一维图形。你能想象到的一维任意复杂图形，都没有h线段复杂！这种包含了全部（！）一维图形的一维图形，我们称它实现了一维图形的遍历。普通的koch线段内，存在平移对称或旋转对称，无法满足遍历性。
最早研究分形的几何图形的人是法国人本华?曼德博，他使用复数递归给出了极其漂亮的分形图形，这些图形充分阐述了分形的特征，自相似，也就是标度对称。
思考：
1.我们的大脑，保持分形结构，存在大量褶皱，使得大脑皮层的面积达到很高的数值。我们大脑的神经细胞（神经元）连接方式的可能性居然比宇宙中的原子数目还多！神经元的连接方式如果能遍历任意组合，那么我们将成为神！实际上我们大脑负责处理多数事物的神经元连接方式组合远远超过其他动物，因此在竞争中所向无敌。但组合方式数量始终是有限的（在很多项目上，因为处理神经元数目少，所以据劣势。比如视力vs隼，嗅觉vs猪；但理性思考和抽象思考方面的能力，使得人极度膨胀，丧失理性，有着成为神的冲动。）
2.不同尺度海岸线的曲折类似状况，蕴含着标度对称，就意味着存在遍历一维曲线的能力。通常可以使用随机koch来模拟海岸线。海岸线决定于大陆板块的运动、冰川变化、河流泥沙的沉积。而这些和地球内部流体运动、大尺度气温变迁相关联。可以说着小尺度上，决定海岸线的因素很随机，在大尺度上也很随机，直到地球板块阶段，大致轮廓才能确定。这也正是随机koch线段可以模拟海岸线的原因。
3.地质运动和火山这两种造山起因完全不同，所以山的外在表现特征不同。撇去山上的植被，无论规模大小，都存在不同程度的相似性。山的体